Es sei eine
differenzierbare Kurve
γ
:
]
a
,
b
[
⟶
R
2
,
t
⟼
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
,
{\displaystyle \gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),}
mit
y
(
t
)
≥
0
{\displaystyle {}y(t)\geq 0}
Rotationsfläche ,
also die Teilmenge
{
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
cos
α
,
y
(
t
)
sin
α
)
∣
t
∈
]
a
,
b
[
,
α
∈
[
0
,
2
π
]
}
{\displaystyle {\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in ]a,b[,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}}
des
R
3
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}
x
{\displaystyle {}x}
γ
{\displaystyle {}\gamma }
M
=
γ
(
]
a
,
b
[
)
{\displaystyle {}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}}
M
{\displaystyle {}M}
G
⊆
R
×
R
+
{\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\,}
ist
(es wird also auch gefordert, dass
γ
{\displaystyle {}\gamma }
R
3
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}
x
{\displaystyle {}x}
Es sei
γ
:
]
a
,
b
[
⟶
R
2
,
t
⟼
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
,
{\displaystyle \gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),}
eine
differenzierbare Kurve
mit
y
(
t
)
>
0
{\displaystyle {}y(t)>0}
Diffeomorphismus
zu
M
=
γ
(
I
)
{\displaystyle {}M=\gamma (I)}
M
⊆
G
{\displaystyle {}M\subseteq G}
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in einer offenen Menge
G
⊆
R
×
R
+
{\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}}
Dann ist die zugehörige
Rotationsfläche
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
R
3
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}
x
{\displaystyle {}x}
2
π
∫
a
b
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
⋅
y
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.}
Es sei
S
{\displaystyle {}S}
R
3
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}
Fakt
auf die Parametrisierung
]
a
,
b
[
×
]
0
,
2
π
[
⟶
S
,
(
t
,
α
)
⟼
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
cos
α
,
y
(
t
)
sin
α
)
,
{\displaystyle ]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),}
an. Die partiellen Ableitungen sind
(
x
′
(
t
)
y
′
(
t
)
cos
α
y
′
(
t
)
sin
α
)
und
(
0
−
y
(
t
)
sin
α
y
(
t
)
cos
α
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\cos \alpha \\y'(t)\sin \alpha \end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0\\-y(t)\sin \alpha \\y(t)\cos \alpha \end{pmatrix}}}
und daher ist
E
(
t
,
α
)
=
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
,
F
(
t
,
α
)
=
0
,
G
(
t
,
α
)
=
(
y
(
t
)
)
2
.
{\displaystyle E(t,\alpha )=(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2},\,F(t,\alpha )=0,\,G(t,\alpha )=(y(t))^{2}.}
Somit ist der Flächeninhalt gleich
∫
a
b
∫
0
2
π
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
⋅
y
(
t
)
d
α
d
t
=
2
π
∫
a
b
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
⋅
y
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,d\alpha \,dt=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt\,.}
◻
{\displaystyle \Box }
![{\displaystyle \gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb76b4708a168d1f1a0814742cc45cd87a154efb)
![{\displaystyle {\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in ]a,b[,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1458c81f6b49a012a27ff3776626e7577eb2a6)
![{\displaystyle {}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6385ccdb3832d93ae905daff2078204f3a867b)
![{\displaystyle ]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f218e285131543ce363130a2613219044dde1577)
