Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt

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Es sei eine differenzierbare Kurve

mit gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

des , die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die -Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass einen Diffeomorphismus auf sein Bild bewirkt und dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ist (es wird also gefordert, dass überall positiv ist). Die Rotationsfläche ist dann eine zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ohne die -Achse, so dass eine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt. Ihr Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen.



Satz  

Es sei

eine differenzierbare Kurve mit , die einen Diffeomorphismus zu induziere, wobei eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge sei.

Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

Beweis  

Es sei die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des ist. Wir wenden Fakt auf die Parametrisierung

an. Die partiellen Ableitungen sind

und daher ist

Somit ist der Flächeninhalt gleich