Sägezahnfunktion/Identität auf Einheitsintervall/Fourierreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Mit partieller Integration ist für ${}n\neq 0$

${}{\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}$

da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist ${}c_{0}={\frac {1}{2}}$. Somit ist gemäß Fakt ${}a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0$ und

${}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.$

Die Fourierreihe ist also

${}{\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage