SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe

ein neues Skalarprodukt auf , nämlich

Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement ist ferner

da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich . Es sei eine Orthonormalbasis von bezüglich und sei die Matrix, deren Spalten die sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe

also

Dabei gilt die Beziehung

da dies für die Standardbasis git. Für und gilt

d.h. ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen

und besitzt auch die Determinante , und daher ist .

Zur bewiesenen Aussage