Satz über die Umkehrabbildung/R/Eindimensionale Motivation/Textabschnitt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit ${}f'(x_{0})\neq 0$ in einem Punkt ${}x_{0}\in I$. Nehmen wir an es gelte ${}f'(x_{0})>0$. Da die Ableitung stetig ist, gibt es auch ein offenes Intervall ${}J={]x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon [}\subseteq I$ derart, dass ${}f'(x)>0$ für alle ${}x\in J$ ist. Aufgrund von Fakt  (2) ist somit ${}f$ auf ${}J$ streng wachsend. Daher ist insbesondere ${}f$ auf ${}J$ injektiv. Das Bild ${}J'=f(J)$ ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und daher liegt eine Bijektion

$f{|}_{J}\colon J\longrightarrow J'$

vor. Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

$g\colon J'\longrightarrow J$

ebenfalls differenzierbar, und ihre Ableitung in ${}y\in J'$ ist ${}g'(y)={\frac {1}{f'(g(y))}}$. Daher ist die Umkehrfunktion auf ${}J'$ auch stetig differenzierbar. Eine ähnliche Argumentation ist durchführbar, wenn ${}f(x_{0})<0$ ist. Insgesamt bedeutet dies, dass aus dem Nichtverschwinden der Ableitung in einem Punkt folgt, dass die Funktion sich in einer kleinen offenen Umgebung des Punktes bijektiv verhält mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung.