Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}Q=0$ Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq G$ und einen ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit offenen Mengen ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ derart, dass ${}\theta$ eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}\cong V$ induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf ${}Z\cap W$ bzw. ${}V$ nehmen wir als Karten für ${}Z$. Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf ${}Z$ definiert, seien offene Umgebungen (im ${}\mathbb {R} ^{n}$) ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ von ${}P\in Z$ gegeben zusammen mit Diffeomorphismen

$\theta _{1}\colon W_{1}\longrightarrow V_{1}\times V_{1}'$

und

$\theta _{2}\colon W_{2}\longrightarrow V_{2}\times V_{2}'.$

Durch Übergang zu ${}W=W_{1}\cap W_{2}$ können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung ${}\theta _{2}\circ \theta _{1}^{-1}$ ist ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) ${}V_{1}\times V_{1}'$ und ${}V_{2}\times V_{2}'$, der ${}V_{1}\times \{0\}$ in ${}V_{2}\times \{0\}$ überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n-m}$).

Zur bewiesenen Aussage