Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen . Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen -Diffeomorphismus

mit offenen Mengen und , so dass eine Bijektion zwischen und induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf bzw. nehmen wir als Karten für . Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf definiert, seien offene Umgebungen (im ) und von gegeben zusammen mit Diffeomorphismen

und

Durch Übergang zu können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung ist ein -Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) und , der in überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein -Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des ).

Zur bewiesenen Aussage