Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}Z=\varphi ^{-1}(0)$  die Faser über  ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$,  und ${}\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.

Dann gibt es zu jedem Punkt  ${}P\in Z$  eine offene Umgebung  ${}P\in W\subseteq G$,  offene Mengen  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$  und  ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$,  und einen ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit  ${}\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$,  der eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential ${}\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes  ${}Q\in W$  eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und ${}\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen