Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$, und ${}\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq G$, offene Mengen ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, und einen ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit ${}\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$, der eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential ${}\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes ${}Q\in W$ eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und ${}\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen