Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt

Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen und sei

φ : G ⟶ ℝ^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P \in G$ und es sei $Z = φ^{- 1} (φ (P))$ die Faser durch $P$ . Das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge $P \in W$ , $W \subseteq G$ , eine offene Menge $V \subseteq ℝ^{n - m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$ψ : V ⟶ W$

derart, dass $ψ (V) \subseteq Z \cap W$ ist und $ψ$ eine Bijektion

$ψ : V ⟶ Z \cap W$

induziert.

Die Abbildung $ψ$ ist in jedem Punkt $Q \in V$ regulär und für das totale Differential von $ψ$ gilt

{(D φ)}_{ψ (Q)} \circ {(D ψ)}_{Q} = 0 .