Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ohne Einschränkung sei ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ und ${}P=0$. Wir schreiben „vektoriell“ ${}w=C$, ${}v=A$, somit ist ${}B=-v$. Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}C$ ist dann ${}-v+w$ und der Verbindungsvektor von ${}B$ nach ${}C$ ist dann ${}v+w$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\left\langle -v+w,v+w\right\rangle &=\left\langle -v,v\right\rangle +\left\langle -v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-r^{2}+r^{2}\\&=0,\end{aligned}}$

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.

Zur gelösten Aufgabe