Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel

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Wir betrachten die Neilsche Parabel und den Kreis mit Mittelpunkt , also . Nach dem Satz von Bezout erwarten wir eine Gesamtschnittzahl von . Wir berechnen die Schnittpunkte. Für folgt aus der ersten Gleichung und dann aus der zweiten , so dass es keinen Schnittpunkt auf der projektiven Geraden gibt. Wir betrachten daher die affinen Gleichungen und . Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt

Dies führt zu den Schnittpunkten

Die beiden letzten Punkte zeigen auch, dass der Satz nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt. Es gibt also nur Schnittpunkte. Da die Neilsche Parabel im Nullpunkt eine Singularität besitzt und dieser ein Schnittpunkt ist, so muss dort die Schnittmultiplizität größer als sein. Um dies zu bestätigen betrachten wir

Dabei haben wir die Einsetzungsrechnung von oben wiederholt und dann ausgenutzt, dass und Einheiten im lokalen Ring sind. Die Dimension ist also und damit muss die Schnittmultiplizität an allen anderen Schnittpunkten sein, was man auch direkt bestätigen kann.