Beweis
Da beide Seiten dieser Gleichung linear in 
sind, können wir annehmen, dass die Gestalt
-
mit einer in einer offenen Umgebung von 
definierten stetig differenzierbaren Funktion 
besitzt. Die Integrale sind links und rechts
Lebesgue-Integrale
zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des
bzw. 
.
Daher können wir auf beiden Seiten zum
topologischen Abschluss
übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.
Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als
-
![{\displaystyle {}{\overline {Q}}=[a,b]\times {\tilde {Q}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba500de3f8366efa212c0fbb3302a519ab2ea37)
Wir wenden
Fakt
auf jede Seite 
ausgenommen
und 
an und erhalten darauf
-
da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen 
konstant ist. Aufgrund
des Satzes von Fubini
und
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
(angewendet auf jedes fixierte 
)
gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{Q}d\omega &=\int _{Q}df\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(\int _{[a,b]}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(f(b,x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a,x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{b\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}-\int _{a\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\sum _{S{\text{ orientierte Seite von }}Q}\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}\omega .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50debdabea1015d4c0e285f5d16c17d2fda1104)
