Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt/Beweis

Beweis

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in $ω$ sind, können wir annehmen, dass $ω$ die Gestalt

ω = f d x_{2} \land \dots \land d x_{n}

mit einer in einer offenen Umgebung von $Q$ definierten stetig differenzierbaren Funktion $f$ besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des $ℝ^{n}$ bzw. $ℝ^{n - 1}$ . Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.

Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als

\overline{Q} = [a, b] \times \tilde{Q} .

Wir wenden Fakt auf jede Seite $S$ ausgenommen $a \times \tilde{Q}$ und $b \times \tilde{Q}$ an und erhalten darauf

\int_{S} ω = \int_{S} f d x_{2} \land \dots \land d x_{n} = \int_{S} 0 = 0,

da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen $x_{2}, \dots, x_{n}$ konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte $(x_{2}, \dots, x_{n})$ ) gilt

\begin{matrix} \int_{Q} d ω & = \int_{Q} d f \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{Q} (\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} d x_{j}) \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{Q} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{\tilde{Q}} (\int_{[a, b]} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}) d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{\tilde{Q}} (f (b, x_{2}, \dots, x_{n}) - f (a, x_{2}, \dots, x_{n})) d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{b \times \tilde{Q}} f d x_{2} \land \dots \land d x_{n} - \int_{a \times \tilde{Q}} f d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \sum_{S orientierte Seite von Q} \int_{S} f d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{\partial Q} f d x_{2} \land \dots \land d x_{n} \\ = \int_{\partial Q} ω . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage