Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt/Beweis

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Beweis

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in sind, können wir annehmen, dass die Gestalt mit einer in einer offenen Umgebung von definierten stetig differenzierbaren Funktion besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des bzw. . Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, so dass dies die Integrale nicht ändert.

Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als . Wir wenden Fakt auf jede Seite ausgenommen und an und erhalten darauf

da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte ) gilt