Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper ${}K$, den wir als konstante Garbe ${}{\mathcal {K}}$ auf ${}X$ auffassen.

Dann ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}/\operatorname {bild} {\left(K\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen