Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $ℱ$ eine Prägarbe auf $X$ . Zeige, dass durch die Zuordnung

U \mapsto \prod_{P \in U} ℱ_{P}

(die Produktmenge aus allen Halmen zu $U$ ) mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen Prägarbenhomomorphismus von $ℱ$ in diese Prägarbe gibt.

Aufgabe

Es sei $ℱ$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ und $\tilde{ℱ}$ die Vergarbung zu $ℱ$ . Zeige, dass es zu jedem Prägarben-Morphismus

ψ : ℱ ⟶ 𝒢

in eine Garbe $𝒢$ eine eindeutige Faktorisierung

\tilde{ψ} : \tilde{ℱ} ⟶ 𝒢

gibt.

Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man lokal konstante Garbe und manchmal auch einfach konstante Garbe.

Aufgabe

Es sei $ℱ$ eine konstante Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ zur Menge $M$ . Zeige, dass der Halm der Vergarbung von $ℱ$ in jedem Punkt $P \in X$ gleich $M$ ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und $X$ ein topologischer Raum. Es sei $𝒢$ die konstante Prägarbe auf $X$ zu $G$ . Zeige, dass die Vergarbung von $𝒢$ gleich $C^{0} (-, G)$ ist.

Aufgabe *

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $𝒢$ eine Garbe auf $X$ und $ℱ \subseteq 𝒢$ eine Untergarbe. Es sei $t \in Γ (X, 𝒢)$ mit $t_{P} \in ℱ_{P}$ für alle $P \in X$ . Zeige $t \in Γ (X, ℱ)$ .

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $φ : ℱ \to 𝒢$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass durch $(kern φ) (U) := kern φ_{U}$ eine Garbe von Gruppen auf $X$ definiert ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $φ : ℱ \to 𝒢$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass $φ$ genau dann injektiv ist, wenn $kern φ$ die Nullgarbe ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $φ : ℱ \to 𝒢$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass $φ$ genau dann surjektiv ist, wenn $bild φ = 𝒢$ ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $φ : ℱ \to 𝒢$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass für jeden Punkt $P \in X$ die Beziehung ${(bild φ)}_{P} = bild (φ_{P})$ ist.