Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 5

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Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Prägarbe auf . Zeige, dass durch die Zuordnung

(die Produktmenge aus allen Halmen zu ) mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen Prägarbenhomomorphismus von in diese Prägarbe gibt.


Aufgabe

Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum und die Vergarbung zu . Zeige, dass es zu jedem Prägarben-Morphismus

in eine Garbe eine eindeutige Faktorisierung

gibt.


Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man lokal konstante Garbe und manchmal auch einfach konstante Garbe.

Aufgabe

Es sei eine konstante Prägarbe auf einem topologischen Raum zur Menge . Zeige, dass der Halm der Vergarbung von in jedem Punkt gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine diskrete topologische Gruppe und ein topologischer Raum. Es sei die konstante Prägarbe auf zu . Zeige, dass die Vergarbung von gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass durch eine Garbe von Gruppen auf definiert ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Nullgarbe ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass für jeden Punkt die Beziehung ist.


Aufgabe

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen surjektiven Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen

gibt.


Aufgabe

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen gegeben, und es sei die Quotientengarbe. Zeige

für jeden Punkt .



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