Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}X$ insbesondere irreduzibel ist, ist die konstante Prägarbe ${}{\mathcal {K}}$ zu ${}K$ eine Garbe. Wegen Fakt gibt es einen injektiven Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {K}}$

und somit eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {K}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz lautet

$0\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {K}})\longrightarrow \cdots .$

Als konstante Garbe ist ${}{\mathcal {K}}$ welk und somit nach Fakt azyklisch und insbesondere gilt

${}H^{1}(X,{\mathcal {K}})=0\,.$

Also ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ der Kokern der zuvor stehenden Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage