Schema/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ wird von globalen Schnitten erzeugt.
2. Ein quasikohärenter Modul ${}{\mathcal {M}}$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{(I)}\rightarrow {\mathcal {M}}$ gibt.
3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
4. Wenn ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird und ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ surjektiv ist, so wird auch ${}{\mathcal {N}}$ von globalen Schnitten erzeugt.

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