Schema/Vektorbündel/Lokal freie Garben/Surjektiv/Aufgabe

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Es seien und Vektorbündel über einem Schema und und die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei ein Homomorphismus von Vektorbündeln und der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein surjektiver Schemamorphismus.
  2. In jedem Punkt ist die Faserabbildung surjektiv.
  3. Der Homomorphismus ist surjektiv.
  4. Es gibt eine offene Überdeckung und lokale Schnitte (Vektorbündelhomomorphismen)

    zu .

  5. Es gibt eine offene Überdeckung und lokale Schnitte (Modulhomomorphismen)

    zu .

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