Schema/Vektorbündel/Lokal freie Garben/Surjektiv/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorbündel über einem Schema $X$ und $ℱ$ und $𝒢$ die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei $\phi :V\to W$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln und $\psi :ℱ\to 𝒢$ der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist ein surjektiver Schemamorphismus.
2. In jedem Punkt  $P\in X$  ist die Faserabbildung $V(x)\to W(x)$ surjektiv.
3. Der Homomorphismus $\psi :ℱ\to 𝒢$ ist surjektiv.
4. Es gibt eine offene Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  und lokale Schnitte (Vektorbündelhomomorphismen)

   $s_i:W{|}_{U_i}⟶V{|}_{U_i}$

   zu $\phi$.

5. Es gibt eine offene Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  und lokale Schnitte (Modulhomomorphismen)

   $t_i:𝒢{|}_{U_i}⟶ℱ{|}_{U_i}$

   zu $\psi$.

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