Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten zunächst die Situation auf ${}X_{i}=X_{s_{i}}$. Es ist

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{U},\,1\longmapsto s_{i},$

nach Fakt ein Isomorphismus von ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Dabei entsprechen unter diesem Isomorphismus die ${}s_{k}$ den Funktionen

${}f_{ki}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,.$

Dabei gilt

${}f_{ki}={\frac {s_{k}}{s_{i}}}\,,$

und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen ${}f_{ki}$, ${}k\neq i$, definieren wiederum nach Fakt einen Morphismus

$\varphi _{i}\colon X_{i}\longrightarrow D_{+}(x_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}.$

Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}X_{i}&&&{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}&&&D_{+}(x_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}&&\\&\nwarrow \,\!\!\!\!\!&&&&\nearrow \!\!\!\!\!&&\,\searrow \!\!\!\!\!&\\&&X_{i}\cap X_{j}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D_{+}(x_{i})\cap D_{+}(x_{j})&&&&{\mathbb {P} }_{K}^{n}\\&\swarrow \,\!\!\!\!\!&&&&\,\searrow \!\!\!\!\!&&\,\nearrow \!\!\!\!\!&\\X_{j}&&&{\stackrel {\varphi _{j}}{\longrightarrow }}&&&D_{+}(x_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}&&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

vor, da links so verklebt wird wie im projektiven Raum rechts. Somit setzen sich diese Morphismen zu einem Morphismus auf der Vereinigung der ${}X_{i}$ zusammen.

Zur bewiesenen Aussage