Schwerpunkt/Linear bijektiv/Wird transformiert/Aufgabe/Lösung

Es werde $\phi$ bezüglich der Standardbasis durch die Matrix  $M=(a_{ij})$  beschrieben, deren Determinante $\ne 0$ ist, da $\phi$ bijektiv ist. Nach Fakt gilt

${\lambda }^n(T)=|detM|\cdot {\lambda }^n(S).$

Wir bezeichnen die Koordinaten vorne mit $x_i$ und hinten mit $y_i$. Die Verknüpfung $y_i\circ \phi$ ist somit $a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n$. Für die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes von $S$ gilt nach Fakt

$\begin{array}{cc}\frac{{\int }_T{y}_{i}d{\lambda }^n}{{\lambda }^n(T)}& =\frac{{\int }_S\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)|detM|d{\lambda }^n}{|detM|{\lambda }^n(S)}\\ & =\frac{{\int }_S\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)d{\lambda }^n}{{\lambda }^n(S)}\\ & =\frac{\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\int }_S{x}_{j}d{\lambda }^n}{{\lambda }^n(S)}\\ & =\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\int }_S{x}_{j}d{\lambda }^n}{{\lambda }^n(S)}.\end{array}$

Dies ist die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes von $S$ unter $\phi$.

Zur gelösten Aufgabe