Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt

Die Transformationsformel für Integrale

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante  ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$  für  ${}x\in G$.  Es sei  ${}T\subseteq H$  eine (in ${}\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}=\int _{\varphi ^{-1}(T)}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

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