Seitenmittelpunktsdreieck/Iteration/Konvergenz/Aufgabe

Zu einem Dreieck ${}\triangle =(A,B,C)$ ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte ${}{\frac {1}{2}}(A+B),{\frac {1}{2}}(A+C),{\frac {1}{2}}(B+C)$ gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken ${}\triangle _{n}$, wobei ${}\triangle _{1}=\triangle$ und ${}\triangle _{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu ${}\triangle _{n}$ ist. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}x_{n}\in \triangle _{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

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