Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen