Beweis
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung
.
Dabei ist der
Subgraph
von die Vereinigung der beiden Subgraphen zu
bzw. ,
wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge besteht und somit nach
Aufgabe
das Maß besitzt. Also ist
und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man
nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von im Subgraphen von enthalten, und die Monotonie des Maßes ergibt die Endlichkeit von , also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von bzw. von eine Teilmenge des Subgraphen zu ist.