Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung . Dabei ist der Subgraph von die Vereinigung der beiden Subgraphen zu bzw. , wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge besteht und somit nach Aufgabe das Maß besitzt. Also ist

und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von im Subgraphem von enthalten, und die Monotonie des Maßes ergibt die Endlichkeit von .