Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $V = {1, \dots, n}$ die Grundmenge und $A_{1}, \dots, A_{m}$ eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach Fakt ist

(\prod_{v \in A_{1}} X_{v}, \dots, \prod_{v \in A_{m}} X_{v}) : K^{n} ⟶ K^{m}

eine Abbildung, deren Faser über $0$ die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex $Δ$ ist. Wir schreiben die Jacobimatrix als

(\begin{matrix} \prod_{v \in A_{1} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{1} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{1} ∖ {n}} X_{v} \\ \prod_{v \in A_{2} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{2} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{2} ∖ {n}} X_{v} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \prod_{v \in A_{m} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{m} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{m} ∖ {n}} X_{v} \end{matrix}),

wobei $\prod_{v \in A_{i} ∖ {j}} X_{v}$ als $0$ zu verstehen ist, falls $j \notin A_{i}$ . Es sei $P \in K^{n}$ ein Punkt, der auf $K^{F}$ zu genau einer Facette $F$ liegt. Es sei $S$ der Träger von $P$ (der in $F$ enthalten ist). Für jeden Index $z \notin F$ ist $S \cup {z}$ eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von $F$ sei $d$ , was auch die Dimension von $K^{F}$ ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt $P$ . Es gibt also $n - d$ solche Indizes. Nach Umnummerierung seien ${1, \dots, n - d}$ diese Indizes und seien $A_{1}, \dots, A_{n - d}$ die Nichtseiten der Form

A_{j} = S \cup {j}

zu $j = 1, \dots, n - d$ . Wir betrachten die $(n - d) \times (n - d)$ -Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also

(\begin{matrix} \prod_{v \in A_{1} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{1} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{1} ∖ {n - d}} X_{v} \\ \prod_{v \in A_{2} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{2} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{2} ∖ {n - d}} X_{v} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \prod_{v \in A_{n - d} ∖ {1}} X_{v} & \prod_{v \in A_{n - d} ∖ {2}} X_{v} & \dots & \prod_{v \in A_{n - d} ∖ {n - d}} X_{v} \end{matrix}) .

In der Diagonalen ist stets

A_{j} ∖ {j} = (S \cup {j}) ∖ {j} = S

und die Auswertung der Monome im Punkt $P$ ergibt in der Diagonalen Werte $\neq 0$ . An einer Stelle zum Index $(i, j)$ mit $i \neq j$ ist

A_{i} ∖ {j} = (S \cup {i}) ∖ {j} .

Der Index $i$ gehört nicht zu $S$ und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle $P$ gleich $0$ . Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von $0$ verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang $n - d$ , und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest $n - d$ ist, also ist der Punkt glatt nach der Definition.

Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger $S$ des Punktes $P$ in den zwei Facetten $F$ und $G$ liegt, und $F$ aus $d$ Indizes besteht. Wir können (nach Umbenennungen) $F$ als $F = {n - d + 1, \dots, n}$ ansetzen und darüber hinaus annehmen, dass

n - d \in G

liegt. Es sei nun $A$ eine Nichtseite, die von den $n - d - 1$ Nichtseiten $S \cup {j}$ , $j = 1, \dots, n - d - 1$ , verschieden sei. Sei $k \in V$ . Bei $k \notin A$ steht an der Stelle $(A, k)$ in der Jacobimatrix die $0$ . Bei $k \in A$ ist

A ∖ {k} \subseteq̸ S,

da wir $A = S \cup {k}$ ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index $(A, k)$ an der Stelle $P$ gleich $0$ . Daher ist überhaupt die Zeile zu $A$ in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt $P$ die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens $n - d - 1$ Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens $n - d - 1$ . Der Punkt ist also nicht glatt.

Zur bewiesenen Aussage