Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}V={\{1,\ldots ,n\}}$ die Grundmenge und ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach Fakt ist

$(\prod _{v\in A_{1}}X_{v},\ldots ,\prod _{v\in A_{m}}X_{v})\colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

eine Abbildung, deren Faser über ${}0$ die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex ${}\Delta$ ist. Wir schreiben die Jacobimatrix als

${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{m}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{m}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{m}\setminus \{n\}}X_{v}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\prod _{v\in A_{i}\setminus \{j\}}X_{v}$ als ${}0$ zu verstehen ist, falls ${}j\notin A_{i}$. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt, der auf ${}K^{F}$ zu genau einer Facette ${}F$ liegt. Es sei ${}S$ der Träger von ${}P$ (der in ${}F$ enthalten ist). Für jeden Index ${}z\notin F$ ist ${}S\cup \{z\}$ eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von ${}F$ sei ${}d$, was auch die Dimension von ${}K^{F}$ ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt ${}P$. Es gibt also ${}n-d$ solche Indizes. Nach Umnummerierung seien ${}\{1,\ldots ,n-d\}$ diese Indizes und seien ${}A_{1},\ldots ,A_{n-d}$ die Nichtseiten der Form

${}A_{j}=S\cup \{j\}\,$

zu ${}j=1,\ldots ,n-d$. Wir betrachten die ${}(n-d)\times (n-d)$-Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also

${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{n-d\}}X_{v}\end{pmatrix}}.$

In der Diagonalen ist stets

${}A_{j}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{j\}\right)}\setminus \{j\}=S\,$

und die Auswertung der Monome im Punkt ${}P$ ergibt in der Diagonalen Werte ${}\neq 0$. An einer Stelle zum Index ${}(i,j)$ mit ${}i\neq j$ ist

${}A_{i}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{i\}\right)}\setminus \{j\}\,.$

Der Index ${}i$ gehört nicht zu ${}S$ und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle ${}P$ gleich ${}0$. Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von ${}0$ verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang ${}n-d$, und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest ${}n-d$ ist, also glatt nach der Definition.

Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger ${}S$ des Punktes ${}P$ in den zwei Facetten ${}F$ und ${}G$ liegt, und ${}F$ aus ${}d$ Indizes besteht. Wir können (nach Umbenennungen) ${}F$ als ${}F=\{n-d+1,\ldots ,n\}$ ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass

${}n-d\in G\,$

liegt. Es sei nun ${}A$ eine Nichtseite, die von den ${}n-d-1$ Nichtseiten ${}S\cup \{j\}$, ${}j=1,\ldots ,n-d-1$, verschieden sei. Sei ${}k\in V$. Bei ${}k\notin A$ steht an der Stelle ${}(A,k)$ in der Jacobimatrix die ${}0$. Bei ${}k\in A$ ist

${}A\setminus \{k\}\not \subseteq S\,,$

da wir ${}A=S\cup \{k\}$ ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index ${}(A,k)$ an der Stelle ${}P$ gleich ${}0$. Daher ist überhaupt die Zeile zu ${}A$ in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt ${}P$ die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens ${}n-d-1$ Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens ${}n-d-1$. Der Punkt ist also nicht glatt.

Zur bewiesenen Aussage