Sinus und Kosinus/Beschränktes Gebiet/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt (3) ist $\cos (x + π / 2) = - \sin x$ und damit

\sin (\frac{π}{4}) = - \sin (- \frac{π}{4}) = - \cos (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{4}) .

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode $π$ . Wegen

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Von $\frac{π}{4}$ bis $\frac{5 π}{4}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit

\begin{matrix} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin x - \cos x d x & = (- \cos x - \sin x) |_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \\ = - \cos (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4}) \\ = 4 \frac{1}{\sqrt{2}} \\ = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}