Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in $ℂ$ die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.

1. Es ist  $\cos (z+2\pi )=\cos z$  und  $\sin (z+2\pi )=\sin z$  für alle  $z\in ℂ$. 
2. Es ist  $\cos (z+\pi )=-\cos z$  und  $\sin (z+\pi )=-\sin z$  für alle  $z\in ℂ$. 
3. Es ist  $\cos (z+\pi /2)=-\sin z$  und  $\sin (z+\pi /2)=\cos z$  für alle  $z\in ℂ$. 
4. Es ist  $\cos 0=1$,   $\cos \pi /2=0$,   $\cos \pi =-1$   $\cos 3\pi /2=0$  und  $\cos 2\pi =1$.  Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form $\frac{\pi }{2}+n\pi$, $n\in \mathbb{Z}$.
5. Es ist  $\sin 0=0$,   $\sin \pi /2=1$,   $\sin \pi =0$,   $\sin 3\pi /2=-1$  und  $\sin 2\pi =0$.  Die Nullstellen des Sinus sind von der Form $n\pi$, $n\in \mathbb{Z}$.

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