Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${}{\mathbb {C} }$ die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.

1. Es ist  ${}\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$  und  ${}\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
2. Es ist  ${}\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$  und  ${}\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
3. Es ist  ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$  und  ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
4. Es ist  ${}\cos 0=1$,   ${}\cos \pi /2=0$,   ${}\cos \pi =-1$   ${}\cos 3\pi /2=0$  und  ${}\cos 2\pi =1$.  Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${}{\frac {\pi }{2}}+n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.
5. Es ist  ${}\sin 0=0$,   ${}\sin \pi /2=1$,   ${}\sin \pi =0$,   ${}\sin 3\pi /2=-1$  und  ${}\sin 2\pi =0$.  Die Nullstellen des Sinus sind von der Form ${}n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.

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