Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Kreisgleichung

$(\cos z{)}^2+(\sin z{)}^2=1$

ist  ${(\sin \frac{\pi }{2})}^2=1$,  also ist  $\sin \frac{\pi }{2}=1$  wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist

$\cos (z+\frac{\pi }{2})=\cos \left(z\right)\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin \left(z\right)\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(z\right).$

Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3). Dass die trigonometrischen Funktionen außer den angegebenen reellen Nullstellen keine weiteren Nullstellen in $ℂ\setminus ℝ$ besitzen, wurde in Aufgabe bewiesen.

Zur bewiesenen Aussage