Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Aufgrund von Fakt gilt

${}\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$

sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe und Fakt  (1) gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

${}{\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf ${}w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich

${}1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$

Zur bewiesenen Aussage