Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis2

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Beweis
  1. Die ersten Eigenschaften folgen unmittelbar aus

    da nach Definition von eine Volldrehung beschreibt.

  2. Wenn man zu einem Winkel den Winkel hinzuaddiert, so bedeutet dies, eine Halbdrehung um den Nullpunkt bzw. eine Punktspiegelung am Nullpunkt durchzuführen. Dabei werden die Koordinaten von in ihr Negatives umgewandelt.
  3. Eine Winkeladdition von bedeutet eine Vierteldrehung von gegen den Uhrzeigersinn. Wegen der schon gezeigten Aussagen genügt es, diese Aussage für Winkel zwischen und zu zeigen. Die trigonometrischen Dreiecke zu und zu sind kongruent, und zwar ist der am Nullpunkt anliegende Winkel des zweiten Dreiecks gleich . Somit ist die Ankathete des zweiten Dreiecks, die auf der negativen -Achse liegt, gleich der Gegenkathete des ersten Dreiecks.
  4. Dies sind einfach die Koordinaten nach einer Viertel-, Halb- und Dreivierteldrehung.
  5. Ebenso.
Zur bewiesenen Aussage