Beweis
Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel
und der Drehung um den Winkel
ist die Drehung um den Winkel
. Nach
Fakt
wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(x+y)&-\operatorname {sin} \,(x+y)\\\operatorname {sin} \,(x+y)&\operatorname {cos} \,(x+y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,x&-\operatorname {sin} \,x\\\operatorname {sin} \,x&\operatorname {cos} \,x\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,y&-\operatorname {sin} \,y\\\operatorname {sin} \,y&\operatorname {cos} \,y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y&-\cos x\cdot \sin y-\sin x\cdot \cos y\\\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y&\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76161a1a83b526bdc31a93dc6e60a0cd04df98f1)
Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.