Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt Eigenvektoren zum Eigenwert $1$.
2. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so gilt für jeden Vektor  $v\in V$,  der sowohl positive als auch negative Einträge besitzt, die Abschätzung

   $\mid \mid Mv\mid {\mid }_{\mathrm{sum}}<\mid \mid v\mid {\mid }_{\mathrm{sum}}.$

3. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so ist der Eigenraum zum Eigenwert $1$ eindimensional. Es gibt dann einen Eigenvektor, der nur nichtnegative Einträge hat und insbesondere eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen