Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt

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Es sei eine spaltenstochastische Matrix. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es gibt Eigenvektoren zum Eigenwert .
  2. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so gilt für jeden Vektor , der sowohl positive als auch negative Einträge besitzt, die Abschätzung
  3. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so ist der Eigenraum zum Eigenwert eindimensional. Es gibt dann einen Eigenvektor, der nur nichtnegative Einträge hat und insbesondere eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen