Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

(1). Die transponierte Matrix ist zeilenstochastisch und besitzt daher den Eigenvektor zum Eigenwert . Daher besitzt nach Fakt das charakteristische Polynom der transponierten Matrix eine Nullstelle an der Stelle und dies gilt nach Aufgabe dann auch für die ursprüngliche Matrix. Daher besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert .

(2). Es seien nun zusätzlich alle Einträge der -ten Zeile positiv und sei ein Vektor mit (mindestens) einem positiven und einem negativen Eintrag. Dann ist

(3). Wie im Beweis zu (2) seien alle Einträge der -ten Zeile positiv. Für einen jeden Eigenvektor zum Eigenwert sind nach (2) entweder alle Einträge nichtnegativ oder nichtpositiv. Somit ist für einen solchen Vektor wegen der -te Eintrag ungleich . Seien solche Eigenvektoren. Dann gehört auch zum Fixraum. Allerdings ist die -te Komponente davon gleich und daher ist es der Nullvektor. Das bedeutet, dass und linear abhängig sind. Somit ist dieser Eigenraum eindimensional. Wegen (2) gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert mit nichtnegativen Einträgen. Durch Normieren sieht man, dass es auch eine stationäre Verteilung gibt.

Zur bewiesenen Aussage