Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Die angegebene Zuordnung ist eine Prägarbe von kommutativen Ringen, deren Vergarbung gleich der Strukturgarbe ist. Wir müssen also zeigen, dass diese Prägarbe im faktoriellen Fall bereits eine Garbe ist. Es sei

${}q\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\subseteq Q(R)\,$

von ${}0$ verschieden. Wegen der Faktorialität gibt es eine gekürzte Darstellung

${}q={\frac {a}{f}}\,.$

Wir behaupten ${}U\subseteq D(f)$, sei also ${}{\mathfrak {p}}\in U$. Da ${}q$ auf ${}U$ definiert ist, gibt es nach Bemerkung eine Darstellung ${}q={\frac {b}{g}}={\frac {a}{f}}$ mit ${}g\notin {\mathfrak {p}}$. Dies bedeutet ${}fb=ag$ in ${}R$. Jeder Primfaktor von ${}f$ teilt ${}ag$ aber nicht ${}a$, also muss er ${}g$ teilen. Daher umfasst das Radikal von ${}f$ das Radikal von ${}g$ und somit ist ${}{\mathfrak {p}}\in D(g)\subseteq D(f)$.

Zur bewiesenen Aussage