Spektrum/Modul/Definition

Modulgarbe (affines Schema)

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$-Modul. Unter dem zu ${}M$ gehörenden ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die kommutative Gruppe

$\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,$

zusammen mit der Skalarmultiplikation

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},$

zuordnet, und wobei jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.