Spektrum/Nichtnullteiler/Triviales Vektorbündel/Strukturgarbe/Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dieses definiert über

$\operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1},\,T\longmapsto fT,$

einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Dieser ist in den Fasern über den Punkten ${}P\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, in denen ${}f$ eine Einheit ist (also den Punkten aus ${}D(f)$), eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv (und zugleich surjektiv und bijektiv), wenn ${}f$ eine Einheit ist. Das Element ${}f$ definiert aber auch durch Multiplikation einen Homomorphismus der Strukturgarbe in sich

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X},\,1\longmapsto f.$

Auf jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ liegt also der ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Modulhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}),\,r\longmapsto rf,$

vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn ${}f$ ein Nichtnullteiler in ${}R$ ist, und bijektiv genau dann, wenn ${}f$ eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander.