Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Substitution  $t=2\arctan s$  ist  $s=\tan \frac{t}{2}$  und  $dt=\frac{2}{1+s^2}ds$.  Aus den trigonometrischen Funktionen wird unter Verwendung von Fakt

$\begin{array}{cc}\sin t& =\sin (\frac{t}{2}+\frac{t}{2})\\ & =2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{t}{2}\right)\\ & =2\tan \left(\frac{t}{2}\right)\cdot {\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)\\ & =2\tan \left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{{\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)}\\ & =2\tan \left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{1}{1+{\tan }^2\left(\frac{t}{2}\right)}\\ & =2s\frac{1}{1+s^2}.\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}\cos t& =\cos (\frac{t}{2}+\frac{t}{2})\\ & ={\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)\\ & =2{\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)-1\\ & =2\cdot \frac{1}{1+{\tan }^2\left(\frac{t}{2}\right)}-1\\ & =2\frac{1}{1+s^2}-1\\ & =\frac{1-s^2}{1+s^2}.\end{array}$

Da sowohl das Differential $dt$ als auch die trigonometrischen Funktionen bei dieser Substitution rationale Ausdrücke in $s$ sind, liegt nach dieser Substitution insgesamt eine rationale Funktion vor.

Zur bewiesenen Aussage