Stanley-Reisner-Ring/Glatter Punkt/Lokalisierung/Aufgabe

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ${}P\in \Delta (K)$ ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}P$ ist ein glatter Punkt von ${}\Delta (K)$.
2. Die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist ein Integritätsbereich.
3. Die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.

Eine Lösung erstellen