Es sei Δ {\displaystyle {}\Delta } ein simplizialer Komplex, S = K [ X 1 , … , X n ] / I Δ {\displaystyle {}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }} der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und R {\displaystyle {}R} die Lokalisierung von S {\displaystyle {}S} am maximalen Ideal ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle {}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}} . Die Dimension von Δ {\displaystyle {}\Delta } sei d {\displaystyle {}d} und Δ {\displaystyle {}\Delta } besitze k {\displaystyle {}k} Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität
ein
simplizialer Komplex,
![{\displaystyle {}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f7df99ac3a9a93335935095931fec63434f7f1)
der zugehörige
Stanley-Reisner-Ring
und 
die
Lokalisierung
von 
am
maximalen Ideal
. Die Dimension von sei 
und besitze 
Facetten.
Zeige, dass die
Hilbert-Samuel-Multiplizität
