Stanley-Reisner-Ring/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Aufgabe

Es sei $\mathrm{\Delta }$ ein simplizialer Komplex,  $S=K[X_1,\dots ,X_n]/I_{\mathrm{\Delta }}$  der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und $R$ die Lokalisierung von $S$ am maximalen Ideal $(X_1,\dots ,X_n)$. Die Dimension von $\mathrm{\Delta }$ sei $d$ und $\mathrm{\Delta }$ besitze $k$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von $R$ gleich $k$ ist.

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