Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Basispunktwechsel/Aufgabe

Es sei $\phi :X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es seien  $x,x^{\prime }\in X$  Punkte, die durch einen stetigen Weg $\delta$ miteinander verbunden seien und sei  $\phi (x)=y$  und  $\phi (x^{\prime })=y^{\prime }$.  Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}{\pi }_1(X,x)& \stackrel{\pi (\phi )}{⟶}& {\pi }_1(Y,y)& \\ \cong \downarrow & & \downarrow \cong & \\ {\pi }_1(X,x^{\prime })& \stackrel{\pi (\phi )}{⟶}& {\pi }_1(Y,y^{\prime })& \end{array}$

vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu $\delta$ bzw. zu $\phi \circ \delta$.

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