Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ${}J:=f([a,b])$ ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass ${}J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist.  Wir nehmen dazu an, dass ${}J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}I$ mit ${}f(x_{n})\geq n$. Nach Fakt besitzt ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge. Da ${}[a,b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu ${}[a,b]$. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun ${}y$ das Supremum von ${}J$, das es nach Fakt gibt. Es gibt nach Aufgabe eine Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von ${}J$ gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}f(x_{n})=y_{n}$. Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt eine konvergente Teilfolge. Es sei ${}x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit ${}f(x)=y$ und daher ${}y\in J$.

Zur bewiesenen Aussage