Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass (nach oben und nach unten) beschränkt ist.  Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit . Nach Fakt besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Sei nun das Supremum von . Es gibt eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .

Zur bewiesenen Aussage