Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild $J := f ([a, b])$ ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass $J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $I$ mit $f (x_{n}) \geq n$ . Nach Fakt besitzt ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine konvergente Teilfolge. Da $[a, b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu $[a, b]$ . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun $y$ das Supremum von $J$ . Es gibt eine Folge ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ in $J$ , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $f (x_{n}) = y_{n}$ . Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt

eine konvergente Teilfolge. Es sei

x

der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit

f (x) = y

und daher

y \in J

.

Zur gelösten Aufgabe