Stetige Funktionen/Keim/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum (oder topologischer Raum oder eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ oder von ${}{\mathbb {C} }$). Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ den kommutativen Ring

${}C(U)={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

(man kann auch ${}{\mathbb {C} }$ statt ${}\mathbb {R}$ nehmen, oder, falls ${}X\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen ist, auch differenzierbare Funktionen). Zu einem Punkt ${}P\in X$ sei

${}C_{P}={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,P\in U{\text{ offene Umgebung}}\right\}}\,$

wobei zwei Funktionen ${}f,g$ miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von ${}P$ übereinstimmen.

1. Zeige, dass ${}C_{P}$ ein kommutativer Ring ist (dieser Ring heißt Ring der Keime stetiger Funktionen).
2. Zeige, dass ${}C_{P}$ ein lokaler Ring.

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