Beweis
Wenn
ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
-
![{\displaystyle {}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f85d8fec5fd16bc4345598c07a28094520cf7df)
Es sei
.
Das ergänzen wir zu einer
Orthonormalbasis
von
. Es seien
die Koordinatenfunktionen von
bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7558f39f807c916a1c83ceb865b0ff0ed5378d59)
da ja
ein Vielfaches von
ist und somit die anderen Koeffizienten gleich
sind. Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53281c03c7dc2be7fe61d15a598624cb26ddd755)