Stetigkeit/Metrischer Raum/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei $M$ ein metrischer Raum und seien

$f,g:M⟶𝕂$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g:M⟶𝕂,x⟼f(x)+g(x),$

$f-g:M⟶𝕂,x⟼f(x)-g(x),$

$f\cdot g:M⟶𝕂,x⟼f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge  $U\subseteq M$,  auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g:U⟶𝕂,x⟼f(x)/g(x),$

stetig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen