Stetigkeit/R/Folgencharakterisierung ohne Bildwert/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}T$, die gegen ${}x$ konvergiert. Die Bildfolge ${}f(x_{n})$ konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen ${}b$. Wir müssen ${}b=f(x)$ zeigen. Wir betrachten dann die Folge

$x_{1},x,x_{2},x,x_{3},x,x_{4},\ldots .$

Diese Folge konvergiert offenbar gegen ${}x$, deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen ${}c$. Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen ${}c$ konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist ${}f(x_{n})$, und diese konvergiert gegen ${}b$. Also ist ${}b=c$. Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge ${}f(x)$, die gegen ${}f(x)$ konvergiert. Also ist

${}f(x)=b$.

Zur gelösten Aufgabe