Stetigkeit/R/Folgencharakterisierung ohne Bildwert/Aufgabe/Lösung

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Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Die Bildfolge konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen . Wir müssen zeigen. Wir betrachten dann die Folge

Diese Folge konvergiert offenbar gegen , deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen . Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist , und diese konvergiert gegen . Also ist . Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge , die gegen konvergiert. Also ist

.