Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
-
ist. Dazu sei
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Nach der Wahl von ist dann
-
sodass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge
konvergiert gegen
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
zumindest
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).