Stromkreis/Induktivität/Differentialgleichung/Verschiedene Spannungen/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Differentialgleichung

${}L\cdot I'(t)+R\cdot I(t)=U(t)\,$

als

${}I'(t)=-{\frac {R}{L}}\cdot I(t)+{\frac {1}{L}}U(t)\,,$

es liegt also eine lineare Differentialgleichung mit der Störfunktion ${}U(t)$ vor.

1. Bei

   ${}U(t)=0\,$

   liegt eine homogene lineare Differentialgleichung vor, die Lösungen sind

   ${}I(t)=ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,$

   mit ${}c\in \mathbb {R}$.

2. Bei

   ${}U(t)=u\,$

   müssen wir nach Fakt die Stammfunktionen zu ${}{\frac {u}{L}}e^{{\frac {R}{L}}t}$ bestimmen, diese sind ${}{\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c$. Die Lösungen sind daher

   ${}I(t)={\left({\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c\right)}e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {u}{R}}+ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,.$

3. Es sei

   ${}U(t)=u\cos \left(\omega t\right)\,.$

   Der Ansatz

   ${}{\begin{aligned}{\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}'&=-\alpha \omega \sin \left(\omega t\right)+\beta \omega \cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {R}{L}}\cdot {\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}+{\frac {u}{L}}\cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {\beta R}{L}}\sin \left(\omega t\right)+{\left({\frac {u-\alpha R}{L}}\right)}\cos \left(\omega t\right)\end{aligned}}$

   führt auf

   ${}\alpha \omega =\beta {\frac {R}{L}}\,.$

   und

   ${}\beta \omega ={\frac {u-\alpha R}{L}}\,$

   bzw. auf

   ${}\alpha \omega L=\beta R\,.$

   und

   ${}\beta \omega L=u-\alpha R\,.$

   Dies ist ein lineares Gleichungssystem in den beiden Variablen ${}\alpha ,\beta ,$ die Lösungen sind

   ${}\beta ={\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,$

   und

   ${}\alpha ={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,.$

   Daher ist

   ${}{\begin{aligned}I(t)&={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\sin \left(\omega t\right)\\&={\frac {u}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}{\left(R\cos \left(\omega t\right)+\omega L\sin \left(\omega t\right)\right)}\end{aligned}}$

   eine Lösung der Differentialgleichung.

Zur gelösten Aufgabe