Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über $r$ , wobei die Fälle $r = 0, 1$ klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

K = L_{0} \subset L_{1} \subset \dots \subset L_{r} \subset L_{r + 1} = L

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper $M$ , $L_{r} \subseteq M \subseteq ℂ$ , derart, dass $K \subseteq M$ eine Galoiserweiterung ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über $K$ ist $M$ nach Fakt der Zerfällungskörper eines (separablen) Polynoms $F \in K [X]$ . Wir können $L_{r + 1} = L_{r} (x)$ mit $x^{2} = a \in L_{r}$ schreiben. Wir betrachten das Polynom

H = \prod_{φ \in Gal (M / K)} (X^{2} - φ (a)) .

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der Galoisgruppe $Gal (M / K)$ und gehören daher wegen Fakt zu $K$ . Es sei $M^{'}$ der Zerfällungskörper von $H$ über $M$ in $ℂ$ . Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt $F H$ über $K$ , sodass $K \subseteq M^{'}$ insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist $x$ eine Nullstelle von $H$ , woraus sich $L = L_{r} (x) \subseteq M^{'}$ ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

K = M_{0} \subset M_{1} \subset \dots \subset M_{s} = M .

Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette

M = M_{s} \subset M_{s + 1} \subset \dots \subset M_{t} = M^{'}

von quadratischen Körpererweiterungen, wobei $M_{s + i + 1} = M_{s + i} (\sqrt{φ_{i} (a)})$ sei und $φ_{i}$ die Automorphismen von $Gal (M / K)$ durchlaufe.

Zur bewiesenen Aussage