Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}r$, wobei die Fälle ${}r=0,1$ klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}\subset L_{r+1}=L\,$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper ${}M$, ${}L_{r}\subseteq M\subseteq {\mathbb {C} }$, derart, dass ${}K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über ${}K$ ist ${}M$ nach Fakt der Zerfällungskörper eines (separablen) Polynoms ${}F\in K[X]$. Wir können ${}L_{r+1}=L_{r}(x)$ mit ${}x^{2}=a\in L_{r}$ schreiben. Wir betrachten das Polynom

${}H=\prod _{\varphi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)}{\left(X^{2}-\varphi (a)\right)}\,.$

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ und gehören daher wegen Fakt zu ${}K$. Es sei ${}M'$ der Zerfällungskörper von ${}H$ über ${}M$ in ${}{\mathbb {C} }$. Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt ${}FH$ über ${}K$, so dass ${}K\subseteq M'$ insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist ${}x$ eine Nullstelle von ${}H$, woraus sich ${}L=L_{r}(x)\subseteq M'$ ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

${}K=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M\,.$

Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette

${}M=M_{s}\subset M_{s+1}\subset \ldots \subset M_{t}=M'\,$

von quadratischen Körpererweiterungen, wobei ${}M_{s+i+1}=M_{s+i}{\left({\sqrt {\varphi _{i}(a)}}\right)}$ sei und ${}\varphi _{i}$ die Automorphismen von ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ durchlaufe.

Zur bewiesenen Aussage