Beweis
Wir führen Induktion über
, wobei die Fälle
klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
-

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper
,
,
derart, dass
eine
Galoiserweiterung
ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über
ist
nach
Fakt
der Zerfällungskörper eines
(separablen)
Polynoms
. Wir können
mit
schreiben. Wir betrachten das Polynom
-

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der
Galoisgruppe
und gehören daher wegen
Fakt
zu
. Es sei
der Zerfällungskörper von
über
in
. Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt
über
, sodass
insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist
eine Nullstelle von
, woraus sich
ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
-

Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette
-

von quadratischen Körpererweiterungen, wobei
sei und
die Automorphismen von
durchlaufe.