Es sei
der
Ausartungsraum
der Bilinearform und
ein
direktes Komplement,
also
-

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf
nicht ausgeartet. Es sei
eine
Basis
von
und
eine Basis von
. Die Vektoren
können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren
orthogonal
stehen. Wir müssen uns also nur noch um
kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf
haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch
mit
-

Der Orthogonalraum zu
besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension
. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis
mit
-

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis
finden mit
-

für alle
. Dies zeigen wir durch Induktion, seien
schon konstruiert. Wir setzen
-

und setzen
-

Dann ist für
-
