Symmetrische Gruppe/Invariantenring/Beispiel

Zur natürlichen Operation der symmetrischen Gruppe $S_n$ auf $K^n$ bzw. auf $K[X_1,\dots ,X_n]$ ist der Fixring

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^{S_n}=K[E_1,\dots ,E_n],$

wobei die $E_i$ die elementarsymmetrischen Polynome sind. Dies ist die Existenzaussage von Fakt; die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in $n$ Variablen ist.