Symmetrische Operation/Affiner Raum und Funktionenkörper/Frei und verzweigt/Beispiel

Die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ operiert auf dem Polynomring in ${}n$ Variablen bzw. auf dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ (${}K$ ein Körper) Der Invariantenring ist der Polynomring in den ${}n$ elementarsymmetrischen Polynomen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$. Die Ringerweiterung ${}K[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist frei (insbesondere flach). Die zugehörige Erweiterung der Quotientenkörper ist eine Galoiserweiterung. Die Gesamtabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (s_{1},\ldots ,s_{n}),$

ist nicht étale, sie ist in denjenigen Punkten verzweigt, deren Bahnen weniger als ${}n!$ Punkte besitzen, und das sind diejenigen Punkte, wo mindestens zwei Koordinaten übereinstimmen.