Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Basisschnitte/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist für eine differenzierbare Funktion ${}g$

${}{\begin{aligned}\nabla _{gV_{i}}V_{j}-\nabla _{V_{j}}{\left(gV_{i}\right)}&=g\nabla _{V_{i}}V_{j}-{\left(g\nabla _{V_{j}}{\left(V_{i}\right)}+D_{V_{j}}(g)V_{i}\right)}\\&=g[V_{i},V_{j}]-D_{V_{j}}(g)V_{i}\\&=[gV_{i},V_{j}]\end{aligned}}$

nach Fakt  (3). Beliebige differenzierbare Vektorfelder kann man als

${}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}V_{i}\,$

und

${}W=\sum _{i=1}^{n}g_{i}V_{i}\,$

ansetzen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}f_{i}V_{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}V_{j}\right)}-\nabla _{\sum _{j=1}^{n}g_{j}V_{j}}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}V_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}f_{i}\nabla _{V_{i}}{\left(g_{j}V_{j}\right)}-\sum _{i,j}g_{j}\nabla _{V_{j}}{\left(f_{i}V_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}f_{i}{\left(g_{j}\nabla _{V_{i}}V_{j}-[V_{i},g_{j}V_{j}]\right)}-\sum _{i,j}g_{j}{\left(f_{i}\nabla _{V_{j}}V_{i}-[f_{i}V_{i},V_{j}]\right)}\\&=\sum _{i,j}f_{i}g_{j}{\left(\nabla _{V_{i}}V_{j}-\nabla _{V_{j}}V_{i}\right)}-\sum _{i}f_{i}[V_{i},g_{j}V_{j}]-\sum _{j}g_{j}[f_{i}V_{i},V_{j}]\\&=\sum _{i,j}f_{i}g_{j}[V_{i},V_{j}]-\sum _{i}f_{i}[V_{i},g_{j}V_{j}]-\sum _{j}g_{j}[f_{i}V_{i},V_{j}].\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe